Об оценке остаточного члена одной кубатурной формулы по чебышевской сетке для функций от двух переменных

Рассматривается кубатурная формула по чебышевской сетке вида
$$ \int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x,y)\,dx\,dy=\frac{4\pi^2}{mn}\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{m-1} f\biggl(\frac{2\pi i}{n},\frac{2\pi j}{m}\biggr)+R_{n,m}(f). $$
Доказана следующая строгая оценка остаточного члена $R_{n,m}(f)$:
$$ \sup_{f\in H(r_1,r_2)}|S_{n,m}(f)|=O(n^{-r_1+1}+m^{-r_1+1}) $$
в некотором классе функций $H(r_1,r_2)$, определяемого при помощи оператора обобщенного сдвига, где $r_1,r_2>1$, $\lambda^{-1}\le n/m\le\lambda$, $\lambda>0$, константа, входящая в $O$-член, зависит только от $\lambda$. Библ. 23.