Точные оценки скорости сходимости “гиперболических” частных сумм двойного ряда Фурье по ортогональным многочленам

Работа посвящена приближению функций от двух переменных $f(x,y)$ из класса $L_2=L_2((a,b)\times(c,d);p(x)q(y))$ с весом $p(x)q(y)$ и нормой
$$ ||f||=\sqrt{\int_a^b\int_c^dp(x)q(x)f^2(x,y)dx\,dy} $$
ортонормированной системой ортогональных многочленов $P_n(x)Q_n(y)$, $n, m=0, 1,\dots$, с весами $p(x)$ и $q(y)$.
Обозначим через $E_N(f)$:
$$ E_N(f)=\inf_{P_N}||f-P_N||, $$
наилучшее приближение функции $f\in L_2$ алгебраическими многочленами вида
\begin{gather*} P_N(x,y)=\sum_{0<n,m<N}a_{m,n}x^ny^m,\\ P_1(x,y)=\mathrm{const}. \end{gather*}
Рассмотрим двойной ряд Фурье функции $f\in L_2$ по системе многочленов $P_n(x)Q_m(y)$, $n, m=0, 1,\dots$ и его “гиперболические” частные суммы
\begin{gather*} S_1(f; x,y)=c_{0,0}(f)P_0(x)Q_0(y),\\ S_N(f; x,y)=\sum_{0<n,m<N}c_{n,m}(f)P_n(x)Q_m(y),\qquad N=2,3,\dots. \end{gather*}
При помощи оператора обобщенного сдвига $F_h$ и обобщенного модуля непрерывности $k$-го порядка $\Omega_k(A,h)$ функции $f\in L_2$ доказывается следующая точная оценка скорости сходимости приближения:
\begin{gather*} E_N(f)\leqslant(1-(1-h)^{2\sqrt{N}})^{-k}\,\Omega_k(f; h), \qquad h\in(0,1),\\ N=4,5,\dots;\qquad k=1,2,\dots, \end{gather*}
причем при каждом фиксированном $N=4,9,16,\dots$ константа в правой части этого неравенства уменьшена быть не может. Библ. 10.