Просьба ко всем участникам, в том числе смотрящим видеозаписи,
зарегистрироваться
по этой ссылке.
Качественная теория дифференциальных уравнений неразрывно связана с исследованием векторных полей. Уже на сфере/плоскости можно видеть примеры нетривиального поведения решений (фазовых кривых векторного поля). Причём сложность вырождения колеблется от простых случаев, которые будут рассказаны в курсе, до открытых математических проблем. В свете возможных физических приложений и компьютерного моделирования естественно рассматривать не только поведение отдельных орбит, но и поведение типичных точек по мере Лебега («случайных решений»), и, соответственно, возникающих при этом аттракторов и инвариантных мер. Изложению современных результатов в этой области и посвящён курс
- Векторные поля на плоскости/сфере. Омега-предельные множества, особые точки, предельные циклы. Системы Морса-Смейла. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
- Критерий Андронова-Понтрягина и устройство типичного векторного поля.
- Понятие коразмерности вырождения. Теорема Сотомайора. Примеры вырождения.
- Нормальные формы седла и седлоузла.
- Аттракторы в теории меры: аттрактор Милнора, статистический и минимальный аттракторы. SRB-мера. Теорема Крылова-Боголюбова.
- Коразмерность два: лунка. Пример Боуэна. Отсутствие временных (биркгофовских) средних для почти всех точек по мере Лебега.
- Бифуркционные диаграммы. Бифуркационная диаграмма «лунки».
- Коразмерность три: модифицированный пример Боуэна. Теорема Клепцына о несовпадении статистического и минимального аттракторов.
- Прямые произведения потоков на сфере: теорема Агравала-Родригеса-Филда о поведении меры вблизи произведения гомоклинических петель.
- Возможные особые точки и полициклы в коразмерности два. Полное описание статистического аттрактора для произведения потоков в коразмерности два. Произведение потоков на сфере в коразмерности три: появление синхронизации в отсутствие взаимодействия.
 Экзамен
 RSS: Ближайшие семинары
Лекторы
Дуков Андрей Валерьевич
Минков Станислав Сергеевич
Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН) |
